Mathematica Experiment / Venus Caelestis / マセマティカ実験(じっけん)
Mathematica

Mathematica はアメリカのWolfram Research社が開発・販売している数式処理ソフトウェアです。


Parameterized Knots


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トーラス系に関するメモ
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トーラスから始めて、
いざ、探検の旅へ

規則性・対称性がある程度を超えて高次になると、現代音楽や抽象画と同じように、それを認識できなくなる。
立体の場合は特に、隠れている部分がどのような形か推測するのがむづかしくなる。
また、隠れた規則性・対称性を発見すると喜びを感じるようになっているらしい。
それはAha! 体験と呼ばれている。

自然物のTextureによって、不規則性(規則性があるがゆらぎがあるもの)を完全な規則性(Sin, Cosなどの単純な関数の組み合わせ)の中に埋め込む。
そこに豊かさが生まれる。自然の圧倒的な豊穣さに対する拙い模倣。
1/f ゆらぎを持ち込めば自然物でなくても同等の効果を得られるはずだが、まだ試していない。

数学的宇宙には自然を遥かに超える豊かさがある。数学的宇宙とはすべての可能性であり、自然とはその内のたったひとつのサンプルである。


web.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~hirosawa/other/mathematica/inde...
のSAMPLE2から始めて


試験の穴埋め式問題のように、それぞれの穴に値や関数を入れることで様々な変化を得られる。
試験問題と違って本質的に無限の変化が得られることになる。
例えば、a=1とa=1.001では、見分けることは多分できないが、形が変わる。
ある種のパラメータの組では、比が整数である(整除できる)か有理数であるかによって劇的に形が変わる。
比が有理数の場合には、単純な場合(2と3とか、3と4とかの場合)程、形の規則性を認識しやすい。


以下が骨組みの例で、■には値を、丸付き数字には関数を入れる。
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a = ■; (* center hole size of a torus *)
b = ■; (* penta-torus *)
c = ■; (* distance from the center of rotation *)
d = ■; (* number of torus *)
x = (a - ①[t] - ②[b s]) ③[s + Pi/(2 b)] + c;
y = ④[t] + c;
z = (a - ⑤[t] - ⑥[b s]) ⑦[s + Pi/(2 b)] + c;
rm= Table[{x, y, z}.RotationMatrix[2 i Pi/d, {■, ■, ■}], {i, d}];

ParametricPlot3D[rm, {t, 0, 2 Pi}, {s, 0, 2 Pi}]
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a : トーラスの穴の大きさ
b : 何角形のトーラスか
c : 回転の中心からの距離
d : トーラスの個数

a, bは、個々のトーラスの形を変える。
c, dは、トーラスを組み合わせた全体の形を変える。
d=1 にして実行してみれば1つのトーラスの形が分かる。

sが1周期分({s, 0, 2 Pi})動く間に、Sin[b s]がb周期分動くことでb角形になる。


+ Pi/(2 b) : 回転前の初期位置の調整


一部のSin, Cosを別の周期関数で置き換える。
どこを何で置き換えるかによって個々のトーラスの形が変わる。


一見するとグチャグチャな場合でも、高度な規則性・対称性が確実に存在する。
上記の式がごく単純でカオス系を含んでいないので明らかである。
f[]が入れ子になっているSin[2 Sin[Sin[Sin[v]]]]の場合でも、
Plot[{Sin[v], Sin[2 Sin[Sin[Sin[v]]]]}, {v, 0, 2 Pi}]
を実行すると、単純な形をしているのが分かる。


Plot[{Sin[v], ◇}, {v, 0, 2 Pi}]の◇の所にいろいろな周期関数を入れてみて、面白そうなのを選べば良い。

Sin[2 Sin[Sin[Sin[v]]]]は、適度な丸みと角が有って、でこぼこが無いので気に入っている。

シンセサイザの音声波形(例えばバイオリン)なども面白そうだが、現在のPCの性能では難しい。
PlotPointsとImageSizeを大きくするほど、細部が正確に表示されるが、その分CPUもメモリも使う。

単純な組み合わせはManipulate[]でも試せるが、ちょっと複雑になったり組み合わせが増えると現在のPCの性能では時間がかかりすぎる。

Knot-Torus系も考え方は基本的に同じだが、yとzを入れ替えてみた。
単に気分の問題。
そのことで、RotationMatrixの第二パラメータ{■, ■, ■}の値と全体の形との関係がトーラス系と違う。

Mathematicaは3D CAD向け出力もできるので、3Dプリンタを使えば実体化もできそうだ。
ただし、このままでは中空なので無理かな。


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想像上の宇宙人とこの宇宙と抽象的宇宙とに関するメモ
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1万光年先にある宇宙人がいて、ある活動をしていると想像してみる。
仮に彼をジョーンズと呼ぶ。ジョーンズは我々と同程度のテクノロジーしか持っていない、と仮定する。
ジョーンズと我々とは相互作用が(多分)無いので、彼の存在や彼の行為は我々にとって意味が無い。
と言えるのだろうか?
無人の森で木が倒れる音に関する禅問答を思い出す。
我々が何かを想像するだけでその何かと我々とは相互作用したと言えるのだろうか?
数学的宇宙とは抽象的宇宙であり、想像上の宇宙である?
「この宇宙」とは具象的宇宙であり、想像上の宇宙ではない?

数学的宇宙とはボルヘスの『バベルの図書館』と同じものである?
それは、「この宇宙」には存在しないのか?
その中の誰にも読まれていない本を今ここで読んでいるのか?
『バベルの図書館』は3次元、「この宇宙」は4次元?
数学的宇宙は何次元でも構わない、とすると、次元が増えることで何が変わるのか?

数学的宇宙を探索して誰も見たことのない場所を発見した時、その「誰も」にジョーンズは含まれるのか?
数学的宇宙は誰かが探索して初めて、「この宇宙」に含まれるのか?
例えば、マンデルブロ集合という数学的宇宙は非常に多くの人々が非常に多くの時間をかけて探索してきているが、原理的に全ては探索できないので、大部分が未知・未探索である。
マンデルブロ集合自体は、詳細が未知であるにもかかわらず、既にすべてが「この宇宙」に含まれていると言えるのか?
「含まれる」とはどういう意味か?
ジョーンズは知っているが我々が知らない数学的宇宙についてはどう考えれば良いのか?


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ソリトンに関するメモ
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- 円周上を走るソリトン
- 球面上を走るソリトン
--大円上ならば、円周上と同じ
- いくつかのソリトンが続けて走る
--時間軸を無くして、スナップショットをいくつか撮ったのと同じ

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探索の経路に関するメモ
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あまりにも広大な森を探索しているのでどういうふうに彷徨っているのかを自省してみた。
肝は「なぜ飽きるのか?」だとつくづく思う。
「しつこいほうが常に勝つ」という自家製の格言もあることだし。

・直前のものと似た形は選ばない
- 各パラメータを1刻みにせず3以上変える
- 変えるパラメータを2つ以上にする
- 似ているかどうかを判定する基準がその日の気分によってかなりブレる。
 調子の良い時ほど微妙な違いがわかるので似たものを選びがちになる。

・近場を探索するのに飽きたときに遠くへジャンプする

・巡り巡って以前の場所へ戻ってないかチェックする

・体系的・組織的な探索もやっては見たがそれだと飽きてしまう
- 高揚感がない
- 先が見えてしまう場合が多いのでつまらない

・大きなジャンプのアイデアは極く稀にしか湧かない
- それは、こういう形はできないだろうか、と考える場合と、この式をこう変えたらどうなるだろうか、
と考える場合の二通りある。幾何的アプローチと代数的アプローチかな。

・彷徨っているうちに、次第にパラメータ間のつながりや深い意味が解ってくる
- それらを言葉で厳密に説明するのはとてもむづかしい。
一番正確なのはアルゴリズムそのものだということになってしまう。
厳密かつ冗長に、というのがむづかしい。
- 「概念」とは要約である。「編集がすべてだ(by 松岡正剛)」
- 「概念」とは名付けである。
- 要約も編集も名付けもできない(非常に難しい)アルゴリズムが存在する。

・1日あたりの探索量を増やすと、すぐ飽きてしまう
- 今日の探索はなんだったのか、これからどちらへ進むべきか、などを考えるのが楽しい
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